Dans pas mal de mes dessins géométriques je commence par dessiner un cercle que je divise en sections d’angle égales. On me demande souvent comment j’arrive à avoir des résultats aussi régulier et symétrique. Je vais donc expliquer ma méthode pour découper un cercle en 6, 12, 24, 96, 192 … parties égales. Je dis bien ma méthode; chacun peut avoir sa technique et ses astuces.
Pour ce dessin j’ai divisé le cercle de base en 192 sections.
Je commence par tracer des axes perpendiculaires. (Comme je dessine souvent sur un format A4, je marque le milieu à 14.85cm en haut en en bas, puis le milieu de la ligne – 10.5cm – qui relie ces points pour obtenir l’axe vertical. Il faut un dernier point a 10.5cm a droite (ou a gauche ) et relier ces 2 points pour avoir l’axe horizontal).
Je trace un cercle le plus grand possible. Ca permettra de limiter les effets d’approximations dus à l’épaisseur de la mine du crayon ou autre. Ce cercle n’est pas obligé de faire partie de dessin final, il pourra être gommé plus tard.
Surtout ne pas modifier l’ouverture du compas !!! On va déjà pouvoir diviser notre cercle en 24 sans modifier l’ouverture.
Division en 12. En pointant le compas sur l’un des points d’intersection du cercle avec les axes horizontal et vertical je marque les 2 points où mon compas coupe le cercle.
Je répète cette opération pour les 3 autres points d’intersection. J’ai ainsi déjà partager mon cercle en 12 sections égales.
Division en 24 Pour la suite il faut tracer les diagonales du carré contenant le cercle et parallèle aux axes. Pour faire ca, je pointe le compas sur les des 4 points d’intersection utilisant précédemment (entre les axes et le cercle). Je trace un morceau d’arc de cercle vers l’endroit approximatif de l’un des coins du carré. En pointant le compas sur le point adjacent je trace un autre arc de cercle. L’intersection de 2 donne le 1er coin du carré. En refaisant l’opération avec les 3 autres points on obtiens les 4 sommets du carré. (Remarque : 2 sommets peuvent suffire a marquer les diagonales puisqu’on a déjà le centre du cercle par lequel elles doivent passer. Mais avec 4 sommets on sera plus précis).
En reliant les sommets opposés on obtiens les diagonales du carré. (Pas besoin de tracé le carré lui-même) Ces 2 diagonales coupent le cercles en 4 nouveaux points. En refaisant l’opération de « Division en 12 » à partir de 4 points on obtiens 24 sections égales.
Division en 48 et plus Pour diviser encore le cercle en 48, il va falloir diviser en 2 chaque section obtenu précédemment. Sur le dessin suivant on cherche donc à déterminer le point N qui partage l’arc AB en 2. C’est à dire le point où la médiatrice de AB coupe le cercle. (NB. la médiatrice coupe le cercle en un 2nd point de l’autre coté de cercle. On peut très bien appliqué le reste de la méthode en utilisant ce point)
Le segment AN représente l’ouverture de compas qu’il faut reporter sur tout le tour du cercle pour diviser chaque section en 2.
Pour diviser encore plus le cercle il suffit de recommencer l’opération … forcement plus on divise, plus les erreurs d’approximation sont difficiles à éviter … Bon courage 🙂
Je vais parler de l’astrolabe et plus précisément de sa construction en vue de le dessiner le plus précisément possible.
Instrument aux fonctions multiples, il permet notamment de mesurer la hauteur des étoiles, dont le Soleil, et ainsi de déterminer l’heure de l’observation et la direction de l’astre. Sa conception, dont les origines remontent à l’Antiquité, perfectionnée par les civilisations arabes, s’appuie sur une projection plane de la voute céleste et de la sphère locale, dite projection stéréographique.
Constitution et terminologie
La mère, ou « matrice », est le disque principal sur lequel sont centrés les autres éléments. Son limbe est gradué. Sur sa partie supérieure se trouve le trône, souvent ouvragé, qui supporte l’anneau de suspension par l’intermédiaire d’une bélière.
L’alidade (au verso) permet de viser les astres.
Le tympan est un disque rapporté, intégré dans la mère. Sur sa face visible on trouve des tracés de réseaux de lignes nécessaires au calcul de l’heure, qui dépendent de la latitude du lieu. Il y a le plus souvent plusieurs tympans par astrolabe, correspondant chacun à une latitude.
L’araignée, est la projection de la carte simplifiée du ciel. Y sont placées les principales étoiles et le cercle de l’écliptique, lieu du Soleil dans son déplacement annuel. Elle tourne, comme le ciel, autour de son axe, en 24 heures.
La règle, ou « ostenseur », permet, par rotation, l’alignement de points de l’araignée avec des repères sur la mère ou le tympan.
Un essieu, dont la conception a varié au cours des siècles, assure l’assemblage de l’ensemble.
Construction de l’astrolabe a la règle, compas et rapporteur
Je propose ici de détailler la méthode que j’ai utilisée pour dessiner mon astrolabe. Je n’aborderai pas ici les démonstrations ou les formules pour déterminer les angles (pourquoi 23.45° pour dessiner l’équateur …) sinon cet article deviendrait interminable (et légèrement hors sujet)
Pour ce dessin il faut une règle graduée, un compas, un rapporteur, éventuellement une calculatrice si vous voulez aller plus vite.
Les étapes : 1 – Les cercles fondamentaux 2 – Les almicantarats 3 – Les cercles de mêmes azimuts 4 – Les heures inégales 5 – L’araignée
1 – Les cercles fondamentaux : Les 2 tropiques et l’équateur
Commençons par dessiner un cercle. Ce sera le tropique du capricorne (pour un astrolabe utilisable dans l’hémisphère nord). Ce sera aussi la périphérie du tympan, il faut donc laisser un peu de place pour rajouter un autre cercle qui contiendra les graduations de la mère. On rajoute les axes horizontal et vertical.
Pour tracer l’équateur, il faut prendre un angle SOB = 23.45°. Le segment AB coupe l’axe verticale en C. L’équateur est alors le cercle de centre O de rayon OC. Puis l’intersection du segment OB avec le cercle de l’équateur donne le point D. Le segment ED coupe l’axe verticale en F. Le cercle de centre F de rayon OF donne le tropique du cancer.
La construction des cercles fondamentaux
2 – L’horizon et les almicantarats
A partir de maintenant notre construction devient dépendante de la latitude à laquelle on souhaite la tracer. Il faut connaitre la latitude du point d’observation. Je fais ma construction avec un point a 48° de latitude Nord, soit approximativement celle de Paris.
Le Zenith G = l’intersection entre l’équateur et l’axe horizontal On détermine H sur l’axe vertical tel que OGH = 21° (latitude / 2). H est le Zenith. Le Nadir, le point opposé au Zenith est à l’intersection de l’axe vertical et de la perpendiculaire à GH en G. Il sera utile pour tracer les cercles de même azimuts plus tard.
L’Horizon Tracé un angle de 45° de part et d’autre du segment GH. Le 1er coupe l’axe vertical en I, le 2nd en J.
Le milieu du segment IJ donne le centre de l’horizon K. L’horizon est donc le cercle de centre K, de rayon KI. Pour notre dessin on limite le cercle a l’arc de cercle situé a l’intérieur du tropique du Capricorne.
3 – Les almicantarats aussi appelé cercle de hauteur
Là on va commencer le travaille long et délicat … on reste bien concentré.
Pour tracer l’almicantarat de hauteur 60°, il faut tracer les angles de 30° (60/2) en G de part et d’autre de HG. Ces 2 angles déterminent les points L1 et L2 sur l’axe vertical. On prend le milieu de L1L2 pour avoir le centre de notre cercle. L’almicantarat 60° = cercle de centre L de rayon LL1. (Pour le dessin, comme pour l’horizon on limite le cercle au tropique du Capricorne.)
Vous voyez venir le truc : pour chaque hauteur dont on veut tracer le cercle il va falloir refaire toute l’opération : tracer les 2 angles, trouver le milieu des 2 points, tracer le cercle. Et tout ça en faisant attention de ne pas trop marquer le papier avec les traces de construction qu’il faudra gommer. Pour avoir un intervalle de 10° il faut donc en tracer 8.
Les almicantarats a 5° d’intervalle
4 – Les cercles de même azimuts
Ces cercles passent tous par le zénith et le nadir. Donc les centres des cercles sont tous situés sur la médiatrice du segment Zenith-Nadir. Tracer l’angle Az0HAz1 = 30° permet de déterminer le centre Az1 de cercle d’azimut 30° de rayon Az1H. Il faut recommencer pour chaque azimuts de 0 à 90° de chaque coté de l’axe vertical Attention. Pour les derniers azimuts il faut prévoir de la place et un grand compas. Pour un astrolabe de 10cm de diamètre, le rayon des plus grands cercles fait plus de 30cm (et tend vers l’infini puisque le dernier « cercle » est la ligne nord sud)
Les heures inégales Quand le concept d’heure a été inventé, la définition répandue était de diviser la durée du jour en 12 et la durée de la nuit en 12. Ainsi, une heure jour = durée entre le lever et le coucher du soleil diviser par 12 Comme vous le savez peut-être :-), la durée du jour n’est pas la même selon le jour de l’année. La durée d’une heure n’est donc pas la même que l’on soit le 20 juin ou le 10 novembre. Elle varie aussi selon la latitude … … Comme ça tout est simple !
Il n’est pas possible (en tout cas très difficile) de tracer avec précision des lignes des heures inégales car il ne s’agit pas d’un cercle mais d’une courbe transcendante dont le polynôme peut être de degré 16 !!!
Dans la pratique on peut quand même assimiler ces courbes à des cercles. Moi j’ai choisi une méthode de traçage encore un peu plus dégradée. Je marque des points que je vais relier par des lignes approximatives.
La zone jaune de ce dessin représente le jour (ou la nuit par symétrie). Une heure = 1/12ème de l’arc de cercle allant d’un point de l’horizon (arc vert) a l’autre point centré au centre de l’astrolabe. Je procède donc encore une fois en plusieurs itérations. – Je trace un arc de cercle, – Je prends la graduation des 2 extrémités de cet arc au rapporteur, – Je divise en 12 (dans un tableur c’est plus simple) et je reporte chaque mesure sur mon arc avec le rapporteur en les numérotant de 1 a 12. – Je recommence ces étapes pour un arc de rayon plus petit Plus il y a de cercle plus le tracé sera précis. Pour avoir les lignes des heures inégales, il faut relier les points de même numéro.
C’est ici que tout a commencé. Je ne saurais plus dire ce qui m’a donné envie de prendre la première feuille pour y faire ce motif. Toujours est-il que j’ai pris un marqueur noir, les feutres de mes enfants et j’ai démarré le premier tressage.
Bonjour et bienvenue à toi qui passent par ici que ce soit volontaire ou que tu te sois égaré.
Ici je souhaite partager mes dessins.
Le point commun de toutes mes réalisations : le travail à la règle et au compas comme base .
Ces 2 outils si simples offres des possibilités étonnantes, extraordinaires que j’aime explorer.
Quelques cercles bien placés peuvent suffire à créer des impressions de relief, de profondeurs, de trompe l’œil … ou tout simplement des beaux motifs
Donc une règle et un compas pour la base, voire pour l’esquisse complète.
Ensuite c’est selon l’envie… Inspiration mandala, zentangle,
… abstrait ou ajout de quelques éléments concrets,
… noir et blanc ou couleur.
Ce blog n’est pas destiné à être un blog de mathématiques, même si je parlerai peut-être ici ou là de quelques constructions (pentagone, hexagone, spirale, développante de cercle …)
Je précise également que je n’ai aucune formation artistique. Je me contente de mettre sur le papier ce qui me passe par la tête sans me soucier de savoir si la construction de mon dessin est bien académique.
Donc je prends toutes les critiques constructives qui pourraient m’aider à m’améliorer.
Dessin et Géométrie variable 