Cette rosace, appelée rosace du jugement dernier, orne la façade ouest de la cathédrale de Chartres. Elle a été construite en 1215 suite à la reconstruction de la cathédrale suite à l’incendie de1194.
La construction géométrique de cette rosace commence par la division du cercle principal en 12 sections pour tracer ces 12 rayons. Pour les dimensions : le rayon de la rosace complète équivaut environ à 21 fois celui du cercle intérieur de l’œil central. 1 – A partir du cercle intérieur de l’œil, on construit les cercles tangents à ce 1er cercle et à 2 axes pour obtenir les 12 lobes. 2 – A partir du cercle circonscrit a ces 2 lobes, on refait la même chose. Les 12 nouveaux cercles représentent le bas des pétales. 3 – On recommence une 3ème fois pour avoir les haut des pétales. 4 – Les rosaces suivantes sont des cercles tangents a 2 pétales et dont le centre passe par le rayon entre eux. 5 – pour les quadrilobes, je n’ai pas trouvé de construction précise. S’il s’agissait d’un cercle il serait tangent aux petites rosaces et au cercle circonscrit a ces rosaces. Mais dans le cas présent le cercle circonscrit à l’un des quadrilobe n’est pas tangent aux petites rosaces.
Dans pas mal de mes dessins géométriques je commence par dessiner un cercle que je divise en sections d’angle égales. On me demande souvent comment j’arrive à avoir des résultats aussi régulier et symétrique. Je vais donc expliquer ma méthode pour découper un cercle en 6, 12, 24, 96, 192 … parties égales. Je dis bien ma méthode; chacun peut avoir sa technique et ses astuces.
Pour ce dessin j’ai divisé le cercle de base en 192 sections.
Je commence par tracer des axes perpendiculaires. (Comme je dessine souvent sur un format A4, je marque le milieu à 14.85cm en haut en en bas, puis le milieu de la ligne – 10.5cm – qui relie ces points pour obtenir l’axe vertical. Il faut un dernier point a 10.5cm a droite (ou a gauche ) et relier ces 2 points pour avoir l’axe horizontal).
Je trace un cercle le plus grand possible. Ca permettra de limiter les effets d’approximations dus à l’épaisseur de la mine du crayon ou autre. Ce cercle n’est pas obligé de faire partie de dessin final, il pourra être gommé plus tard.
Surtout ne pas modifier l’ouverture du compas !!! On va déjà pouvoir diviser notre cercle en 24 sans modifier l’ouverture.
Division en 12. En pointant le compas sur l’un des points d’intersection du cercle avec les axes horizontal et vertical je marque les 2 points où mon compas coupe le cercle.
Je répète cette opération pour les 3 autres points d’intersection. J’ai ainsi déjà partager mon cercle en 12 sections égales.
Division en 24 Pour la suite il faut tracer les diagonales du carré contenant le cercle et parallèle aux axes. Pour faire ca, je pointe le compas sur les des 4 points d’intersection utilisant précédemment (entre les axes et le cercle). Je trace un morceau d’arc de cercle vers l’endroit approximatif de l’un des coins du carré. En pointant le compas sur le point adjacent je trace un autre arc de cercle. L’intersection de 2 donne le 1er coin du carré. En refaisant l’opération avec les 3 autres points on obtiens les 4 sommets du carré. (Remarque : 2 sommets peuvent suffire a marquer les diagonales puisqu’on a déjà le centre du cercle par lequel elles doivent passer. Mais avec 4 sommets on sera plus précis).
En reliant les sommets opposés on obtiens les diagonales du carré. (Pas besoin de tracé le carré lui-même) Ces 2 diagonales coupent le cercles en 4 nouveaux points. En refaisant l’opération de « Division en 12 » à partir de 4 points on obtiens 24 sections égales.
Division en 48 et plus Pour diviser encore le cercle en 48, il va falloir diviser en 2 chaque section obtenu précédemment. Sur le dessin suivant on cherche donc à déterminer le point N qui partage l’arc AB en 2. C’est à dire le point où la médiatrice de AB coupe le cercle. (NB. la médiatrice coupe le cercle en un 2nd point de l’autre coté de cercle. On peut très bien appliqué le reste de la méthode en utilisant ce point)
Le segment AN représente l’ouverture de compas qu’il faut reporter sur tout le tour du cercle pour diviser chaque section en 2.
Pour diviser encore plus le cercle il suffit de recommencer l’opération … forcement plus on divise, plus les erreurs d’approximation sont difficiles à éviter … Bon courage 🙂
Voila l’exemple typique d’un dessin ou je n’ai pas la moindre idée de ce que je vais faire au départ. Je voulais partir sur une spirale de Fibonacci mais ce sera pour une prochaine fois. J’ai finalement fait une spirale basée sur celle d’Archimède (mais qui n’en est pas une). Mais que vais-je faire de cette spirale … je n’en sais toujours rien. Je rajoute quelques motifs puis des couleurs.
Les couleurs utilisées sur cette circonvolution me donne une impression tentaculée. Je rajoute donc quelques algues et coraux pour renforcer l’ambiance.
On peut penser : “C’est juste une grosse boule” ! Mais non ! C’est un dodécaèdre (un polyèdre à 12 faces pentagonales) dont chaque face est remplacée par un genre d’entonnoir . Les 12 entonnoirs ainsi formés se rejoignent en un autre dodécaèdre au centre du premier. Son inventeur, David Honda, l’a appelé Dodecahedral 11-Holed Torus et a gagné le prix Mathematical Art Exhibition au Joint Math Meetings en 2018. http://snaporigami.weebly.com/2018-bridges-art-exhibition.html
J’ai reproduit son œuvre a partir des 3 photos qu’il a présenté.
Quelques chiffres
80 feuilles de papier format A4 8700 bandes de papier 1320 pour le moyeu 7680 pour l’enveloppe ou 3180 facettes triangulaires 5820 crochets 6 couleurs de papier 35 cm de diamètre 350 grammes Temps 3h d’études pour comprendre la construction du modèle et faire quelques calculs 6h de découpage (et 1 lame de cutter complète ) 40h de pliage. Je tournais à 150/heure pour les triangles et 300/heure pour les crochets 40h d’assemblage. 30 minutes pour assembler une des 60 faces (donc 30 heures au total) 10h pour tout assembler ensemble. 5h pour corriger une grosse erreur de conception Total : 96 heures sur 1 mois de travail entre le 20 Avril et le 20 Mai 2020(soit 3h par jour)
La méthode d’assemblage
L’assemblage est constitué de 2 formats de bande de papier :
Des bandes de 1cm x 6 cm pliées en 6 pour former un triangle enroulé 2 fois sur lui-même
Des bandes de 1cm x 4 cm pliées en 4 pour former un genre de crochet pour assembler 2 triangles entre eux.
A partir de là tout est possible …
Ce dodécaèdre est constitué de 2 parties : le moyeu central et l’enveloppe.
Le moyeu
C’est un icosaèdre (polyèdre à 20 faces triangulaires) dont chaque sommet est tronqué et remplacé par un pentagone creux qui servira de branche pour le relier à l’enveloppe.
Voila 1 sommet. Il faut donc en assembler 12 comme celui-là.
Les feuilles sont découpées en bloc de 4 ou 6 cm. Les blocs sont découpés en bandes de 1 cm. Les bandes sont pliées en triangles et en crochets.
Les 11 feuilles de papier avant et après !L’intérieur pendant l’assemblage.
L’enveloppe
7 680 morceaux de papier pliés et prêts à être assemblés.
Autant le découpage m’a ennuyé. C’est long, ca fait mal au bras et ca demande une concentration sans faille. Un demi millimètre en trop sur la largeur des bandes et ca ne rentrera plus, un demi en moins et la cohésion du tout n’est plus assurée. Autant le pliage est agréable. C’est très simple à faire, ça demande très peu de concentration donc je peux regarder la télé en même temps. Ca fait juste un peu mal aux épaules au bout d’un moment.
Avant / Après :
Il faut 48 triangles et 76 crochets pour faire une face de l’enveloppe. Il faut 60 faces comme celle-ci pour faire l’ensemble de l’enveloppe (5 sur chacunes des 12 faces du dodécaèdre).
Les crochets sur l’enveloppe sont prêts pour recevoir une nouvelle face.
Ca avance toujours bien. Mais il ya un truc qui me dérange. Les creux sur chaque face ne sont pas assez marqués. Les trous du moyeux sont quasiment bouchés. Et les tensions qui s’exercent sur l’ensemble sont énormes. Il ne me reste qu’une heure ou 2 d’assemblage mais … Je réalise qu’il y a une erreur de conception et il va falloir démonter tout l’enveloppe pour la corriger.
… et les arêtes ne s’arrondissent pas comme il faut. On ne devrait pas les voir du tout.
Les 2 photos montrent la différence Avant Après vue depuis l’intérieur de la construction. Vous voyez la différence ? En gauche tous les crochets sont orientés dans le même sens. A droite, certains crochets ont été inversés.
J’ai donc dû en retourner un certain nombre pour que le point de pivot soit en haut et que “l’éventail” que forme la succession de face se déploie correctement. Sur les photos ça parait dérisoire, sans importance … pourtant la différence est gigantesque. Donc je démonte tout ; j’inverse 25 liaisons sur chacune des 12 faces, je rattache les liaisons avec le moyeu qui ont lâchés pendant la première construction (et qui devraient être soulagés dans la nouvelle disposition). Et j’en profite pour faire une modification esthétique : Les éléments blancs à la jointure entre les faces ne me plaisent pas. Ils cassent trop le dégradé. Donc je repasse par la découpe et le pliage pour refaire 300 crochets bleus que je vais remplacer. C’est encore pas mal de boulot, mais vu tout ce que j’ai déjà fait : autant aller jusqu’au bout.
Et au final voilà le résultat .
Très content d’avoir réalisé cet oeuvre. Le côté mathématique de l’objet, l’assemblage qui cache plein de surprise mais très agréable, un pliage simple.
Pas mal de transpiration pour assembler l’ensemble. Parfois, avec une pince dans chaque main j’ai eu l’impression de lever le mât du bateau au fond de la bouteille 🙂
A la base j’ai dessiné un cube. A l’intérieur j’ai créer un réseau de canalisation qui zigzaguent dans tous les sens.
Il ne s’agit pas vraiment d’un labyrinthe : il n’y a pas d’entrée ou de sortie et il n’est pas possible de suivre un chemin sans changer d’orientation.
Pour la petite histoire j’avais démarré ce dessin il y a 2 ans et je l’ai alors laissé en plan, inachevé. La structure était faite mais je m’étais lassé de dessiner les motifs. Et chaque fois que je voyais ce dessin dans cet état je trouvais que c’était dommage quand même. Il y a du potentiel.
La semaine dernière j’ai repris ma feuille, mes feutres et mes crayons de couleur et je l’ai terminé en quelques heures.
Personnellement je trouve que ca valait le coup. Qu’en pensez-vous ?
Dessin réalisé entre Janvier 2019 et Janvier 2021.
Les nœuds celtiques aussi appelés entrelacs ou ornements sont une source d’inspiration intarissable pour les dessins géométriques que j’affectionne. Il en existe de toute forme, plus ou moins complexes.
Ils sont d’origine à la fois romaines, celtes ou germaniques. Toutes ces influences se sont mélangées durant le Haut Moyen-Âge. Des ornementations similaires existent dans l’art islamique qui proviennent de l’art byzantin. Toutefois pour ces derniers on parle plutôt d’arabesques.
La question que je me pose a chaque fois que je vois un de ces motifs, c’est : Combien faut-il de cordes distinctes pour réaliser ce motif ?
Ici : pour les 2 motifs intérieurs : 1 seule corde suffit : vous pouvez parcourir l’ensemble du motif sans lever le crayon et revenir au point de départ.
Pour le troisième anneau, il en faut 2. Et le dernier : il s’agit d’une simple tresse, il faut donc 3 cordes.
L’effet esthétique est, en partie, du au passage alternatif dessus/dessous des cordes entre elles. Il est donc intéressant de noter qu’en utilisant des cordes formant des boucles (pas d’extrémités non jointes) le nombre de point d’intersection entre toutes les cordes (quelque soit leur nombre) sera pair. Donc l’alternance dessus dessous est toujours vérifiée.
1 – Quelque soit la manière dont on arrange les 3 rectangles, l’alternance dessus-dessous est respectée. 2 – Si on rajoute un 4ème rectangle de manière quelconque, l’alternance est toujours respectée. 3 – En rajoutant un polygone croisé, encore une fois, la règle est bien respectées.
Dessin et Géométrie variable 